Cómo sacar una raíz cuadrada de cabeza o con lápiz y papel

La raíz de un número es otro número que, multiplicado por sí mismo, da el primero: la de 49 es 7, porque 7 × 7 = 49.

Se llama cuadrada porque deshace la operación de elevar al cuadrado, y se escribe con el símbolo √: √49 = 7. Esta guía explica cómo calcularla sin calculadora, desde los cuadrados perfectos que conviene saber de memoria hasta la estimación de raíces que no son exactas y el método tradicional con lápiz y papel, con ejemplos resueltos y la forma de comprobar cada resultado.

¿Qué es una raíz y por qué se llama cuadrada?

El nombre viene de la geometría. Un cuadrado de 49 m² de superficie tiene un lado de 7 m: el lado es la raíz del área. Por eso hallar √49 es preguntarse qué número, elevado al cuadrado, da 49.

En España, el Real Decreto 217/2022 de la ESO incluye entre los saberes básicos de Matemáticas de primero a tercero las relaciones inversas entre operaciones, y cita expresamente la pareja formada por elevar al cuadrado y extraer la raíz, junto con la realización de estimaciones con la precisión requerida. En la notación de potencias, √49 = 7 equivale a 7² = 49; si quieres repasar esa notación, mira qué es una potencia.

Dos detalles evitan confusiones. Primero, la ecuación x² = 49 tiene dos soluciones, 7 y −7, pero el símbolo √49 indica solo la positiva, 7. Segundo, un número negativo no tiene raíz real: ningún número multiplicado por sí mismo da −49.

Los cuadrados perfectos que conviene saber

Un cuadrado perfecto es el resultado de multiplicar un número entero por sí mismo. Sus raíces son exactas, y saber de memoria los primeros veinte resuelve la mayoría de los ejercicios de cabeza.

Hay un filtro rápido: un cuadrado perfecto solo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 o 9. Un número que acaba en 2, 3, 7 u 8, como 248 o 1.003, no tiene raíz exacta, sin necesidad de calcular nada. Y los números que acaban en 5 tienen un truco propio: para 35², multiplica 3 por el siguiente, 4, y añade 25 detrás: 1.225. Igual con 45²: 4 × 5 = 20, así que 2.025.

Cómo estimar una raíz entre dos enteros

Cuando el número no es un cuadrado perfecto, su raíz tiene decimales infinitos, pero se puede acotar y estimar de cabeza. Primero se buscan los dos cuadrados perfectos que lo rodean: 50 está entre 49 y 64, así que √50 está entre 7 y 8, mucho más cerca de 7.

Después se reparte la distancia. De 49 a 64 hay 15 unidades, y 50 está a 1 de 49, así que √50 es aproximadamente 7 + 1/15, es decir, 7,07. La tabla aplica el mismo método a otros números y lo compara con el valor de la calculadora.

La estimación siempre se queda un poco corta, pero acierta las dos primeras cifras. Si hace falta más precisión, hay un segundo paso muy antiguo, conocido como método de Herón: se hace la media entre la estimación y el número dividido por ella. Para 50, (7 + 50/7) ÷ 2 = 7,0714, y el valor real es 7,0711.

Calcular una raíz sin calculadora, con el método tradicional

El método tradicional, con lápiz y papel, da la raíz cifra a cifra. Se ve mejor con un ejemplo: √1.369.

Primero se separan las cifras en grupos de dos desde la derecha: 13 | 69. Se busca el mayor número cuyo cuadrado no pasa del primer grupo: 3² = 9 cabe en 13, y 4² = 16 no. La primera cifra de la raíz es 3, y se resta 13 − 9 = 4.

Se baja el siguiente grupo junto al resto: 469. Se duplica lo que llevamos de raíz, 3 × 2 = 6, y se busca la cifra d que hace que el número de dos cifras 6d, multiplicado por d, no pase de 469. Con d = 7, 67 × 7 = 469, justo. La raíz es 37 y el resto 0, así que es exacta: 37 × 37 = 1.369.

Si el número tiene más grupos, se repite el último paso: bajar el grupo, duplicar la raíz parcial y buscar la cifra siguiente. Es largo, pero siempre funciona, y es el procedimiento que aparece en muchos libros de texto.

Raíz exacta y raíz entera con resto

Una raíz es exacta cuando el número es un cuadrado perfecto. Si no lo es, el método tradicional da una raíz entera y un resto. Para 500: el primer grupo es 5, su mayor cuadrado es 4, la primera cifra es 2 y el resto 1; se baja 00 y queda 100; duplicando 2 sale 4, y 42 × 2 = 84 cabe en 100, mientras que 43 × 3 = 129 no. La raíz entera es 22 y el resto 100 − 84 = 16.

La comprobación es siempre la misma: la raíz al cuadrado más el resto debe dar el número. Aquí 22² + 16 = 484 + 16 = 500. Además, el resto nunca puede ser mayor que el doble de la raíz, 44 en este caso; si lo es, la raíz se ha quedado corta.

Otra vía para las raíces exactas es la descomposición en factores primos, la misma que se usa para calcular el mcm y el mcd. Como 144 = 2⁴ × 3², su raíz se obtiene dividiendo los exponentes entre dos: 2² × 3 = 12. Y con decimales basta con contar las cifras: √0,25 = 0,5, √1,44 = 1,2 y √0,01 = 0,1.

Cuándo se estudian las raíces en secundaria

En España, el Real Decreto 217/2022 sitúa estos contenidos en el bloque de primero a tercero de ESO, y cada comunidad autónoma los reparte entre los cursos. En México, el programa sintético de la Fase 6 de la SEP los coloca en segundo grado de secundaria, en el contenido sobre la extensión del significado de las operaciones y sus relaciones inversas: el alumno calcula potencias con exponente entero y raíces, y usa la notación científica.

Para ver el resto del curso, consulta nuestro programa de matemáticas de 2° de secundaria. Y para practicar, nada mejor que repasar los cuadrados perfectos de la tabla hasta que salgan sin pensar: con ellos, la mitad de las raíces se resuelven de cabeza.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la raíz de un número sin calculadora?

Busca los dos cuadrados perfectos que lo rodean y estima entre ellos, o usa el método tradicional, que da la raíz cifra a cifra con lápiz y papel.

¿Qué es un cuadrado perfecto?

El resultado de multiplicar un número entero por sí mismo, como 49 = 7 × 7. Su raíz es exacta.

¿Cómo se comprueba una raíz?

Elevando el resultado al cuadrado y sumando el resto, si lo hay: debe dar el número de partida. Por ejemplo, 22² + 16 = 500.

¿Qué pasa con la raíz de un número negativo?

No tiene raíz real, porque ningún número multiplicado por sí mismo da un resultado negativo.

¿Cuánto vale la raíz de 2?

Aproximadamente 1,414. No es exacta: sus decimales no terminan nunca ni se repiten.