Una ecuación de primer grado se resuelve dejando la incógnita sola en un miembro, haciendo la misma operación en los dos lados hasta llegar a x = número.
Es el primer gran paso del álgebra en secundaria, y mucho de lo que viene después se apoya en él: sistemas, funciones, problemas de porcentajes o de física. Esta guía explica qué es una ecuación de primer grado, el método en cuatro pasos, los casos con paréntesis y con fracciones, cómo plantear problemas con enunciado y cómo comprobar la solución, siempre con ejemplos resueltos.
Qué es una ecuación de primer grado
Una ecuación es una igualdad con una letra cuyo valor no conoces, la incógnita. Es de primer grado cuando la incógnita aparece elevada a 1: no hay x², ni x en un denominador. Por eso también se llama ecuación lineal.
Cada ecuación tiene dos miembros, separados por el signo igual. En 5x − 4 = 2x + 11, el primer miembro es 5x − 4 y el segundo es 2x + 11. Resolverla es encontrar el valor de x que hace que los dos lados valgan lo mismo; aquí, x = 5, porque 25 − 4 = 21 y 10 + 11 = 21.
El paso previo es manejar con soltura las expresiones algebraicas: sumar términos semejantes, como 3x + 2x = 5x, y quitar paréntesis sin equivocarse de signo.
Qué piden el currículo de España y el programa de la SEP
En España, el Real Decreto 217/2022, que fija las enseñanzas mínimas de la ESO, incluye en el sentido algebraico, para los cursos de primero a tercero, las estrategias de búsqueda de soluciones en ecuaciones y sistemas lineales y en ecuaciones cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana, y también su resolución con ayuda de la tecnología. Cada comunidad autónoma desarrolla después su propio currículo a partir de esas enseñanzas mínimas.
En México, el Programa sintético de la Fase 6 de la SEP sitúa en primer grado de secundaria el contenido «Ecuaciones lineales y cuadráticas» con dos aprendizajes: resolver ecuaciones de la forma Ax = B, Ax + B = C y Ax + B = Cx + D usando las propiedades de la igualdad, y modelar y resolver problemas cuyo planteamiento es una ecuación lineal. En segundo grado llegan los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y, en tercero, las ecuaciones cuadráticas.
Puedes ver el resto de ese curso en nuestra página sobre las matemáticas de 1° de secundaria.
Cómo resolver ecuaciones en cuatro pasos
El método se apoya en una sola idea: si haces la misma operación en los dos miembros, la igualdad se mantiene. «Pasar al otro lado cambiando de signo» es solo un atajo de esa idea.
- Quita paréntesis y denominadores, si los hay.
- Agrupa los términos con x en un miembro y los números en el otro.
- Reduce cada miembro sumando los términos semejantes.
- Despeja la x dividiendo entre su coeficiente.
Ejemplo: 5x − 4 = 2x + 11. Restas 2x en los dos miembros y queda 3x − 4 = 11. Sumas 4 y queda 3x = 15. Divides entre 3: x = 5.
| Forma | Ejemplo | Paso clave | Solución |
|---|---|---|---|
| Ax = B | 3x = 12 | Dividir entre 3 | x = 4 |
| Ax + B = C | 2x + 5 = 17 | Restar 5 y dividir entre 2 | x = 6 |
| Ax + B = Cx + D | 5x − 4 = 2x + 11 | Restar 2x y sumar 4 | x = 5 |
| Con paréntesis | 3(x − 2) = 2(x + 1) | Aplicar la propiedad distributiva | x = 8 |
| Con fracciones | x/3 + x/4 = 7 | Multiplicar todo por 12 | x = 12 |
Un caso especial: si al reducir desaparece la x y queda algo falso, como 0 = 5, la ecuación no tiene solución; si queda algo siempre cierto, como 0 = 0, cualquier número es solución.
Ecuaciones con paréntesis
Primero se quitan los paréntesis con la propiedad distributiva: el número de fuera multiplica a cada término de dentro.
3(x − 2) = 2(x + 1) se convierte en 3x − 6 = 2x + 2. Restas 2x y queda x − 6 = 2. Sumas 6: x = 8. Comprobación: 3 · 6 = 18 y 2 · 9 = 18.
El error más frecuente aparece con un signo menos delante del paréntesis, que cambia el signo de todos los términos de dentro. En 4 − (2x − 6) = 2, quitar el paréntesis da 4 − 2x + 6 = 2. Escribir 4 − 2x − 6 = 2 sería el fallo típico. Después: 10 − 2x = 2, luego −2x = −8 y x = 4. Comprobación: 4 − (8 − 6) = 4 − 2 = 2.
Con varios paréntesis, ve de uno en uno y reescribe la ecuación completa en cada paso. Ocupa más espacio, pero evita perder un término por el camino.
Ecuaciones con fracciones: el mínimo común múltiplo
Con fracciones, lo más seguro es eliminarlas al principio: multiplicas los dos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Si las fracciones todavía te cuestan, repasa antes cómo se calcula ese m.c.m.
En x/3 + x/4 = 7, el m.c.m. de 3 y 4 es 12. Multiplicando todo por 12 queda 4x + 3x = 84, es decir, 7x = 84 y x = 12. Comprobación: 12/3 + 12/4 = 4 + 3 = 7.
Cuando el numerador tiene varios términos, ponlo entre paréntesis antes de multiplicar. En (x + 1)/2 − (x − 3)/5 = 2, el m.c.m. es 10 y queda 5(x + 1) − 2(x − 3) = 20. Al quitar paréntesis, cuidado con el signo menos: 5x + 5 − 2x + 6 = 20, así que 3x + 11 = 20, 3x = 9 y x = 3. Comprobación: 4/2 − 0/5 = 2.
No olvides multiplicar también los términos sin denominador: en x/2 + 3 = 8, al multiplicar por 2 queda x + 6 = 16, y x = 10.
Problemas de ecuaciones con enunciado
En un problema, la dificultad está en traducir el texto a una ecuación. Un orden que funciona: decidir qué es x, escribir las demás cantidades en función de x, plantear la igualdad que da el enunciado, resolver y responder con una frase.
| Enunciado | Ecuación | Respuesta |
|---|---|---|
| Tres números consecutivos suman 72 | x + (x + 1) + (x + 2) = 72 | 23, 24 y 25 |
| Una madre tiene el triple de edad que su hijo y entre los dos suman 48 años | x + 3x = 48 | El hijo tiene 12 años y la madre 36 |
| Un rectángulo mide 5 cm más de largo que de ancho y su perímetro es 38 cm | 2x + 2(x + 5) = 38 | 7 cm de ancho y 12 cm de largo |
| Tras una rebaja del 20 %, un precio queda en 240 | 0,8x = 240 | El precio inicial era 300 |
| Dentro de 6 años, Luis tendrá el doble de la edad que tenía hace 4 años | x + 6 = 2(x − 4) | Luis tiene 14 años |
Resuelto paso a paso, el del rectángulo da 2x + 2x + 10 = 38, luego 4x = 28 y x = 7. El de Luis da x + 6 = 2x − 8, luego x = 14.
Vuelve siempre al enunciado para comprobar que la respuesta tiene sentido: con 14 años, dentro de 6 Luis tendrá 20, y hace 4 tenía 10, justo la mitad. Una edad negativa o un número de personas con decimales indican un error de planteamiento.
Comprobar la solución y evitar los errores frecuentes
Comprobar cuesta menos de un minuto: sustituyes x por el valor encontrado en la ecuación original, nunca en una de las intermedias, y miras si los dos miembros dan lo mismo. Si no coinciden, hay un error en algún paso, y casi siempre es uno de estos:
- cambiar de signo un término al pasarlo y olvidar otro;
- quitar un paréntesis precedido de un menos sin cambiar todos los signos;
- multiplicar por el m.c.m. solo los términos que tienen denominador;
- dividir entre el coeficiente sin su signo: −2x = −8 da x = 4.
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Preguntas frecuentes
¿Qué es una ecuación de primer grado?
Una igualdad con una incógnita elevada a 1, sin x² ni x en un denominador. También se llama ecuación lineal.
¿Cómo se resuelve una ecuación con paréntesis?
Primero quitas los paréntesis con la propiedad distributiva, con cuidado si hay un signo menos delante; después agrupas, reduces y despejas la x.
¿Cómo se quitan las fracciones de una ecuación?
Multiplicando los dos miembros, término a término, por el mínimo común múltiplo de los denominadores, sin olvidar los términos que no tienen denominador.
¿Cuándo una ecuación lineal no tiene solución?
Cuando al reducir desaparece la x y queda una igualdad falsa, como 0 = 5. Si queda 0 = 0, cualquier número es solución.
¿Cuándo se estudian las ecuaciones lineales en secundaria?
En México, el programa de la SEP las sitúa en primer grado de secundaria. En España, el Real Decreto 217/2022 las incluye en los saberes de primero a tercero de ESO.
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