Para calcular el mcm y el mcd de dos números, descompón cada uno en factores primos: el mcd se queda con los factores comunes con el menor exponente, y el mcm con todos los factores con el mayor exponente.
Es un tema de la ESO en España y de 2.º de secundaria en México, y vuelve una y otra vez: al sumar fracciones, al simplificarlas y en muchos problemas de horarios, repartos y baldosas. Aquí tienes qué es cada uno, el método de los factores primos, atajos para hacerlo de cabeza y una regla sencilla para saber cuál usar en cada problema.
Qué son el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos números es el número más pequeño que es múltiplo de los dos. El máximo común divisor (mcd) es el número más grande que divide a los dos. Con 12 y 18 se ve enseguida:
- Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60… Múltiplos de 18: 18, 36, 54… El primero que se repite es 36, así que mcm(12, 18) = 36.
- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. El mayor común es 6, así que mcd(12, 18) = 6.
En España, el Real Decreto 217/2022 incluye entre los saberes de Matemáticas de 1.º a 3.º de ESO los factores, múltiplos y divisores y la factorización en números primos para resolver problemas. En México, el programa sintético de la Fase 6 de la SEP pide en 2.º de secundaria usar criterios de divisibilidad y números primos al resolver problemas que implican calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
La descomposición en factores primos, paso a paso
Con números grandes, hacer listas es lento. El método fiable es descomponer cada número en factores primos: se divide entre el primo más pequeño posible (2, 3, 5, 7…) hasta llegar a 1. Así, 60 = 2² × 3 × 5 y 84 = 2² × 3 × 7.
- mcd: los factores comunes, con el menor exponente. Comunes a los dos: 2² y 3, así que mcd(60, 84) = 12.
- mcm: todos los factores, comunes y no comunes, con el mayor exponente: 2² × 3 × 5 × 7 = 420.
Hay una comprobación rápida para dos números: el producto del mcd por el mcm es igual al producto de los dos números. 12 × 420 = 5.040 y 60 × 84 = 5.040.
| Números | Factores primos | mcd | mcm |
|---|---|---|---|
| 12 y 18 | 2² × 3 y 2 × 3² | 6 | 36 |
| 8 y 12 | 2³ y 2² × 3 | 4 | 24 |
| 15 y 20 | 3 × 5 y 2² × 5 | 5 | 60 |
| 24 y 36 | 2³ × 3 y 2² × 3² | 12 | 72 |
| 60 y 84 | 2² × 3 × 5 y 2² × 3 × 7 | 12 | 420 |
| 9 y 14 | 3² y 2 × 7 | 1 | 126 |
Criterios de divisibilidad para descomponer más rápido
Descomponer en factores primos es más rápido si sabes de un vistazo entre qué números se puede dividir:
- Entre 2, si la última cifra es par.
- Entre 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3: 126 da 1 + 2 + 6 = 9, así que sí.
- Entre 5, si termina en 0 o en 5.
- Entre 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9: 126 también.
- Entre 11, si la diferencia entre la suma de las cifras en posición par y la de las cifras en posición impar es 0 o múltiplo de 11: 286 da (2 + 6) − 8 = 0.
Con estos criterios, 126 se descompone sin dudar: 126 = 2 × 63 = 2 × 9 × 7 = 2 × 3² × 7. Un error frecuente es quedarse con un factor que no es primo, como 9 o 15: hay que seguir dividiendo hasta que todos los factores sean primos, o el mcm y el mcd saldrán mal.
Cómo calcular el mcm y el mcd de cabeza
Con números pequeños, varios atajos evitan la descomposición:
- Si uno divide al otro, el pequeño es el mcd y el grande es el mcm: con 6 y 18, mcd = 6 y mcm = 18.
- Si no tienen divisores comunes (primos entre sí), el mcd es 1 y el mcm es el producto: con 9 y 14, mcm = 126.
- Para el mcm, recorre los múltiplos del número mayor hasta encontrar uno que el menor divida: con 12 y 18, 18 no vale, 36 sí.
- Para el mcd, resta el menor del mayor tantas veces como haga falta: el mcd no cambia. mcd(84, 60) = mcd(60, 24) = mcd(36, 24) = mcd(24, 12) = 12.
Todo esto va mucho más rápido si las tablas de multiplicar salen solas, porque reconocer que 36 está en la tabla del 12 y en la del 18 es la mitad del trabajo; si alguna flojea, repásala en nuestras tablas de multiplicar del 2 al 12. Y para los criterios de divisibilidad, que dicen de un vistazo si un número se divide entre 2, 3 o 5, tienes nuestros trucos para dividir de cabeza.
Problemas de mcm y mcd: cómo saber cuál usar
En los problemas, lo difícil suele ser elegir, más que calcular. Una regla sencilla funciona casi siempre: si hay que repartir o cortar en partes iguales lo más grandes posible, es el mcd; si hay que saber cuándo algo vuelve a coincidir o el tamaño mínimo que contiene a los dos, es el mcm.
| Problema | Se usa | Solución |
|---|---|---|
| Dos autobuses salen juntos a las 8:00, uno cada 12 minutos y otro cada 18. ¿Cuándo vuelven a coincidir? | mcm | mcm(12, 18) = 36: a las 8:36 |
| Se cortan dos cintas de 60 y 84 cm en trozos iguales, lo más largos posible. ¿Cuánto mide cada trozo? | mcd | mcd(60, 84) = 12 cm: 5 y 7 trozos |
| Con 24 caramelos y 36 piruletas se hacen bolsas iguales, el mayor número posible. ¿Cuántas bolsas? | mcd | mcd(24, 36) = 12 bolsas, con 2 caramelos y 3 piruletas |
| Con baldosas de 15 × 20 cm se forma el cuadrado más pequeño posible. ¿Cuánto mide su lado? | mcm | mcm(15, 20) = 60 cm: 4 × 3 = 12 baldosas |
Antes de calcular, lee la pregunta y busca esas pistas: «lo más grande posible» y «repartir» apuntan al mcd; «volver a coincidir» y «el menor» apuntan al mcm.
Para qué sirven el mcm y el mcd con fracciones
Fuera de los problemas, los dos se usan sobre todo con fracciones. El mcm de los denominadores es el denominador común más pequeño para sumar o restar: para 5/12 + 7/18, el mcm(12, 18) = 36, y queda 15/36 + 14/36 = 29/36. Usar 12 × 18 = 216 también funciona, pero obliga a simplificar después.
El mcd, en cambio, sirve para simplificar una fracción de una sola vez: 84/60 se divide arriba y abajo entre mcd(60, 84) = 12 y queda 7/5, que ya es irreducible. En nuestra entrada del glosario sobre qué es una fracción tienes el resto de operaciones con fracciones.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre el mcm y el mcd?
El mcm es el menor número que es múltiplo de los dos; el mcd es el mayor número que divide a los dos. Con 12 y 18, el mcm es 36 y el mcd es 6.
¿Cómo se calcula el mcm de tres números?
Se descomponen los tres en factores primos y se toman todos los factores con el mayor exponente. Para 4, 6 y 10: 2² × 3 × 5 = 60.
¿Cuándo el mcd de dos números es 1?
Cuando no tienen ningún divisor común salvo el 1, es decir, cuando son primos entre sí. En ese caso, el mcm es el producto de los dos números.
¿Cuándo se estudian el mcm y el mcd en el colegio?
En España, el Real Decreto 217/2022 sitúa los múltiplos, divisores y la factorización en primos en 1.º a 3.º de ESO. En México, el programa de la SEP los pide en 2.º de secundaria.
¿Cómo se usa el mcm para sumar fracciones?
Se toma el mcm de los denominadores como denominador común. Para 5/12 + 7/18, el mcm es 36: 15/36 + 14/36 = 29/36.
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