Thalès au collège : le théorème, sa réciproque et la configuration papillon

Le théorème attribué à Thalès dit que, lorsque deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les longueurs des deux triangles ainsi formés sont proportionnelles.

Au collège, il sert surtout à calculer une longueur et, avec sa réciproque, à prouver que deux droites sont parallèles. Ce guide reprend l'énoncé, la méthode de calcul avec un exemple chiffré, la réciproque et la contraposée, la configuration papillon, puis ce que le brevet attend.

Ce que dit le théorème, en configuration de Thalès

Prenons un triangle ABC, un point M sur le segment [AB] et un point N sur le segment [AC]. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Les deux triangles AMN et ABC ont le sommet A en commun, l'un est emboîté dans l'autre, et chaque côté du petit triangle est obtenu en multipliant le côté correspondant du grand par le même nombre.

Le point délicat est l'ordre des longueurs dans les rapports. En haut, on met toujours le petit triangle ; en bas, le grand ; et chaque fraction associe deux côtés qui se correspondent, sur la même droite ou parallèles entre eux. Écrire AM/MB au lieu de AM/AB est l'erreur la plus fréquente.

Dans le nouveau programme de mathématiques du cycle 4, fixé par l'arrêté du 18 février 2026, l'objectif figure en troisième : connaître et appliquer le théorème, sa réciproque et sa contraposée, dans la configuration des triangles emboîtés et dans celle dite du papillon. L'arrêté prévoit que ce programme s'applique en troisième à la rentrée 2028 ; d'ici là, les élèves de troisième suivent encore l'ancien. Le programme signale aussi un point d'histoire : le théorème n'est pas appelé ainsi dans les autres pays.

Calculer une longueur avec l'égalité des rapports

Exemple : AB = 8 cm, AM = 3 cm, AC = 6 cm et BC = 10 cm, avec (MN) parallèle à (BC). On cherche AN et MN.

Le tableau est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3/8 = 0,375. On obtient AN = 6 × 3 ÷ 8 = 2,25 cm et MN = 10 × 3 ÷ 8 = 3,75 cm. C'est exactement un calcul de quatrième proportionnelle, et la méthode des produits en croix donne le même résultat.

La rédaction attendue tient en trois temps. D'abord les hypothèses : les points A, M, B d'une part, A, N, C d'autre part sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Ensuite la propriété : d'après le théorème de Thalès, AM/AB = AN/AC = MN/BC. Enfin le calcul, avec l'unité. Un contrôle rapide évite les erreurs grossières : MN doit être plus petit que BC, puisque le triangle AMN est à l'intérieur de ABC.

La réciproque de Thalès pour prouver un parallélisme

La réciproque part dans l'autre sens. Si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On n'utilise ici que les deux rapports sur les côtés issus de A : MN/BC ne sert pas, puisqu'on ne sait pas encore que les droites sont parallèles.

Exemple : AM = 2 cm, AB = 5 cm, AN = 3 cm et AC = 7,5 cm. On calcule séparément 2/5 = 0,4 et 3/7,5 = 0,4. Les rapports sont égaux et l'ordre des points est le même, donc (MN) est parallèle à (BC).

La contraposée sert à prouver le contraire. Avec AC = 7 cm au lieu de 7,5 cm, on a 3/7 ≈ 0,43, différent de 0,4 : les droites ne sont pas parallèles. Pour comparer deux rapports, mieux vaut éviter les valeurs arrondies, qui peuvent faire croire à une égalité. Les produits en croix sont plus sûrs : 2 × 7,5 = 15 et 5 × 3 = 15, égaux ; 2 × 7 = 14 et 5 × 3 = 15, différents.

La configuration papillon

Dans la configuration papillon, les deux triangles ne sont plus emboîtés : ils sont opposés par le sommet A. Les droites (BM) et (CN) se coupent en A, avec M et N de l'autre côté de A par rapport à B et C, et les droites (BC) et (MN) sont parallèles. L'égalité reste la même : AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Exemple : AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm et AM = 6 cm, avec (BC) parallèle à (MN). Le coefficient vaut 6/4 = 1,5, donc AN = 5 × 1,5 = 7,5 cm et MN = 6 × 1,5 = 9 cm. Ici le second triangle est plus grand que le premier, ce qui est fréquent dans un papillon.

Pour la réciproque en papillon, la condition sur l'ordre des points compte encore plus : les points doivent être alignés dans le même ordre sur les deux droites, sinon l'égalité des rapports ne suffit pas.

Agrandissement, réduction et triangles semblables

Les triangles AMN et ABC ont les mêmes angles et des côtés proportionnels : ce sont des triangles semblables. Le coefficient k = AM/AB dit de combien on réduit, ou on agrandit si k est plus grand que 1. Dans l'exemple emboîté, k = 0,375 : toutes les longueurs du petit triangle valent 0,375 fois celles du grand.

Les aires, elles, sont multipliées par k². Avec k = 0,375, l'aire du petit triangle vaut 0,375 × 0,375 ≈ 0,14 fois celle du grand, soit environ un septième, et non trois huitièmes. Cette différence entre longueurs et aires tombe souvent dans les exercices.

Le programme de 2026 fait aussi le lien avec la proportionnalité en troisième : relier la représentation graphique d'une situation de proportionnalité à Thalès. Sur un graphique, les points d'une droite passant par l'origine forment justement des triangles emboîtés.

Thalès au brevet : ce qui est attendu

La liste indicative d'automatismes du brevet 2026 demande de reconnaître une situation où Thalès s'applique dans la configuration des triangles emboîtés, de mettre en place l'automatisme sur l'égalité des rapports de longueur et de garder un regard critique sur les conditions d'utilisation et les résultats obtenus. La même liste traite de la même façon Pythagore et le cosinus.

Ce regard critique se résume en trois questions à se poser. Les droites sont-elles bien parallèles, données dans l'énoncé ou démontrées ? Les rapports associent-ils les bons côtés ? Le résultat est-il cohérent avec la figure ? Pour choisir entre les deux théorèmes, un repère simple : un triangle rectangle appelle le théorème de Pythagore, deux droites parallèles coupées par deux sécantes appellent Thalès.

Le détail des notions de l'année est sur notre page du programme de mathématiques de 3e.

Questions fréquentes

Quand utiliser Thalès plutôt que Pythagore ?

Thalès s'utilise avec deux droites parallèles qui coupent deux droites sécantes ; Pythagore, dans un triangle rectangle.

Comment écrire l'égalité des rapports ?

Petit triangle en haut, grand triangle en bas, côtés correspondants dans chaque fraction : AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Que permet la réciproque de Thalès ?

Elle permet de prouver que deux droites sont parallèles, quand les rapports AM/AB et AN/AC sont égaux et que les points sont alignés dans le même ordre.

Quelle est la différence entre la réciproque et la contraposée ?

La réciproque prouve que les droites sont parallèles ; la contraposée prouve qu'elles ne le sont pas, quand les rapports sont différents.

Quand étudie-t-on Thalès au collège ?

Dans le programme du cycle 4 fixé en 2026, en troisième, avec une application dans cette classe à la rentrée 2028. Il figure aussi dans la liste d'automatismes du brevet 2026.