Résoudre les équations du collège, de 3x = 12 à 5x − 4 = 2x + 11

Pour résoudre une équation du premier degré, on isole l'inconnue en faisant la même opération des deux côtés du signe égal, jusqu'à obtenir x égal à un nombre.

La méthode s'apprend en trois temps au collège : des équations très simples en 5e, celles de la forme ax + b = c puis la mise en équation de problèmes en 4e, et des équations plus variées en 3e. Voici ce que fixe le programme, la méthode pas à pas, la vérification de la solution et la mise en équation d'un problème, avec les erreurs qui coûtent le plus de points.

Les équations en 5e, en 4e et en 3e

Le nouveau programme de mathématiques du cycle 4, fixé par l'arrêté du 18 février 2026 publié au Bulletin officiel, répartit le travail sur les équations sur les trois années. Il s'applique à la rentrée 2026 en 5e, à la rentrée 2027 en 4e et à la rentrée 2028 en 3e : cette année, les élèves de 4e et de 3e suivent encore l'ancien programme.

Les équations comptent aussi au brevet : la liste indicative d'automatismes du brevet, publiée en octobre 2025, cite la résolution des équations du type ax = c, x + b = c et ax + b = c parmi les automatismes que l'épreuve de maths peut mobiliser.

Le principe : garder l'égalité en équilibre

Une équation est une égalité où un nombre est inconnu. Le signe égal fonctionne comme une balance : si on fait la même opération des deux côtés, l'égalité reste vraie. Résoudre, c'est enchaîner ces opérations jusqu'à ce que x soit seul d'un côté.

• Pour x + 7 = 15, on enlève 7 des deux côtés : x = 8.
• Pour 3x = 12, on divise les deux côtés par 3 : x = 4.
• Pour x − 4 = 9, on ajoute 4 : x = 13.
• Pour x ÷ 5 = 6, on multiplie par 5 : x = 30.

Chaque fois, on utilise l'opération inverse de celle qui « accroche » x : l'addition se défait par une soustraction, la multiplication par une division. C'est exactement la méthode que le programme de 5e décrit comme arithmétique, appuyée sur les opérations inverses. Pour lire ces écritures sans hésiter, comme 3x qui veut dire 3 × x, la fiche du lexique sur le calcul littéral reprend les bases.

Comment résoudre les équations du type ax + b = c

Quand l'inconnue est à la fois multipliée et accompagnée d'un nombre, on procède en deux temps : d'abord on enlève le nombre ajouté, ensuite on divise. Pour 3x + 5 = 20, on enlève 5 des deux côtés, ce qui donne 3x = 15, puis on divise par 3 : x = 5.

Si x apparaît des deux côtés, on commence par regrouper les x d'un même côté. Pour 5x − 4 = 2x + 11, on enlève 2x des deux côtés : 3x − 4 = 11, puis on ajoute 4 : 3x = 15, et x = 5. Avec des parenthèses, on développe d'abord : 2(x + 3) = 14 devient 2x + 6 = 14.

La solution n'est pas toujours entière : 2x + 3 = 8 donne 2x = 5, donc x = 2,5. On peut aussi l'écrire sous forme de fraction, 5/2.

Vérifier une solution en remplaçant x

Une solution se vérifie en trente secondes, et c'est le meilleur réflexe à prendre. On remplace x par la valeur trouvée dans chaque membre de l'équation de départ, et on calcule séparément. Pour 5x − 4 = 2x + 11 et x = 5 : à gauche, 5 × 5 − 4 = 21 ; à droite, 2 × 5 + 11 = 21. Les deux côtés donnent 21, donc x = 5 est bien la solution.

Le programme de 4e en fait un automatisme : tester si un nombre vérifie une égalité. La vérification attrape la plupart des erreurs de signe, et dans un problème elle permet aussi de contrôler que la réponse a du sens : un nombre de places négatif ou un âge de 140 ans signalent une erreur de mise en équation.

Mettre en équation un problème

Mettre un problème en équation, c'est traduire la situation en une égalité. La méthode tient en cinq étapes : choisir l'inconnue et l'écrire en toutes lettres, exprimer les quantités en fonction de x, écrire l'égalité, la résoudre, puis répondre à la question posée par une phrase.

Exemple : au cinéma, une carte coûte 20 € puis 5 € la séance ; sans carte, la séance coûte 8 €. À partir de combien de séances la carte est-elle plus intéressante ? Soit x le nombre de séances. Avec la carte, on paie 20 + 5x ; sans carte, 8x. Les deux coûts sont égaux quand 20 + 5x = 8x, soit 20 = 3x, et x ≈ 6,67. Pour 6 séances, la carte coûte 50 € contre 48 € sans carte ; pour 7 séances, 55 € contre 56 €. La carte devient intéressante à partir de 7 séances.

C'est exactement une équation du type ax + b = cx + d, celle du programme de 4e. Quand une situation relève de la proportionnalité, un produit en croix suffit souvent, sans poser d'équation.

Les erreurs qui coûtent des points

• Le changement de signe oublié. Quand on « fait passer » un terme de l'autre côté, il change de signe, parce qu'on fait en réalité l'opération inverse des deux côtés. Écrire les étapes en entier évite l'erreur.
• Diviser un seul terme. Pour 3x + 6 = 15, diviser par 3 ne donne pas x + 6 = 5 : il faut d'abord enlever 6.
• S'arrêter trop tôt. 3x = 15 n'est pas une réponse : la solution est x = 5.
• Oublier la question. Dans un problème, x = 6,67 n'est pas la réponse attendue si la question porte sur un nombre de séances.

Comme les équations simples font partie des automatismes du brevet, quelques minutes de pratique régulière valent mieux qu'une longue séance avant un contrôle ; notre article sur les automatismes du brevet montre à quoi ressemblent ces questions rapides.

Questions fréquentes

Comment faire quand x apparaît des deux côtés de l'équation ?

On regroupe d'abord les x d'un même côté en enlevant le même terme des deux côtés : 5x − 4 = 2x + 11 devient 3x − 4 = 11, puis 3x = 15 et x = 5.

Quand apprend-on à résoudre des équations au collège ?

Avec le nouveau programme, les équations simples ax = c et x + b = c arrivent en 5e, ax + b = c et la mise en équation en 4e, l'équation produit nul et x² = a en 3e. Il s'applique en 5e depuis la rentrée 2026, en 4e à la rentrée 2027 et en 3e à la rentrée 2028.

Comment vérifier la solution d'une équation ?

On remplace x par la valeur trouvée dans chaque membre de l'équation de départ : si les deux côtés donnent le même nombre, la solution est juste.

Que faire si l'équation contient des parenthèses ?

On développe d'abord avec la distributivité : 2(x + 3) = 14 devient 2x + 6 = 14, puis 2x = 8 et x = 4.

Pourquoi faut-il faire la même opération des deux côtés ?

Parce que l'égalité doit rester vraie à chaque étape. Si on enlève 5 d'un seul côté, les deux membres ne sont plus égaux et la solution trouvée est fausse.