Diviser un nombre de tête, sans poser la division

Pour diviser de tête, découpe le nombre en morceaux faciles ou remplace la division par des étapes simples, comme diviser par 2 deux fois au lieu de diviser par 4.

La division est l'opération qu'on pose le plus volontiers, alors qu'une bonne partie des calculs du collège se font en quelques secondes avec la bonne méthode. Ce guide donne une technique par diviseur, de 2 à 25, les critères de divisibilité pour savoir si le résultat tombe juste, la méthode du découpage qui marche avec tous les nombres, et la façon d'estimer un quotient pour vérifier ton résultat.

Comment diviser un nombre de tête

Deux idées suffisent pour presque tous les cas. La première : une division difficile peut se remplacer par plusieurs divisions faciles. Diviser par 4, c'est diviser par 2 puis encore par 2. La deuxième : on peut découper le nombre à diviser en morceaux qui se divisent bien, puis additionner les résultats.

Le programme de mathématiques du cycle 4 rappelle que le calcul mental, le calcul réfléchi et le calcul posé restent des objectifs majeurs, avec un entraînement régulier. Parmi les automatismes de 5e, il cite la division euclidienne, par exemple savoir que 17 = 3 × 5 + 2, et le fait de multiplier et diviser par 10, 100 et 1 000.

Avant de diviser, les tables doivent être solides, puisque diviser revient à chercher le facteur manquant : 56 : 7, c'est trouver le nombre qui, multiplié par 7, donne 56. Si une table résiste encore, reprends-la avec nos tables de multiplication de 1 à 12.

Diviser par 2, 4 et 8 en coupant en deux

Diviser par 2, c'est prendre la moitié. Pour un grand nombre, coupe-le en morceaux : la moitié de 476, c'est la moitié de 400 (200), plus la moitié de 76 (38), soit 238.

Pour diviser par 4, prends la moitié de la moitié. 348 : 4 donne 348 : 2 = 174, puis 174 : 2 = 87. Pour diviser par 8, coupe en deux trois fois : 736 : 8 donne 368, puis 184, puis 92.

Cette méthode fonctionne aussi avec les décimaux : 9,6 : 4 donne 4,8 puis 2,4.

Diviser par 5 et par 25 en passant par 10 et 100

Diviser par 5, c'est diviser par 10 puis multiplier par 2, ou l'inverse. Comme 5 est la moitié de 10, le résultat est le double de celui de la division par 10. 430 : 5 se calcule comme 430 × 2 = 860, puis 860 : 10 = 86.

Diviser par 25 suit la même logique avec 100, parce que 25 est le quart de 100 : multiplie par 4, puis divise par 100. 1 275 : 25 donne 1 275 × 4 = 5 100, puis 5 100 : 100 = 51.

Avec un décimal, rien ne change : 3,6 : 5 donne 7,2 : 10 = 0,72. Et diviser par 0,5 revient à multiplier par 2, puisqu'il y a deux moitiés dans un : 7 : 0,5 = 14.

La division mentale par 3, 6, 7 et 9 en découpant le nombre

Pour les autres diviseurs, la méthode du découpage est la plus sûre. Il s'agit d'écrire le nombre comme une somme de multiples faciles du diviseur, puis de diviser chaque morceau.

• 756 : 7 = (700 + 56) : 7 = 100 + 8 = 108.
• 852 : 6 = (600 + 240 + 12) : 6 = 100 + 40 + 2 = 142.
• 423 : 9 = (360 + 63) : 9 = 40 + 7 = 47.

Le choix des morceaux vient des tables : on cherche le plus grand multiple facile du diviseur, comme 700 pour 7 ou 360 pour 9, puis on recommence avec le reste.

Une autre astuce consiste à diviser les deux nombres par un même facteur, ce qui ne change pas le quotient. 840 : 15 devient 280 : 5 en divisant les deux par 3, puis 56. C'est la même idée que pour simplifier une fraction.

Pour diviser par 3, le découpage suit la somme des chiffres : si elle est un multiple de 3, la division tombe juste. 714 : 3 se découpe en 600 + 105 + 9, soit 200 + 35 + 3 = 238. Pour diviser par 6, divise par 2 puis par 3 : 852 : 2 = 426, puis 426 : 3 = 142, le même résultat que plus haut par une autre route. Avoir deux méthodes pour un même calcul est d'ailleurs la meilleure façon de se vérifier.

Les critères de divisibilité pour savoir si la division tombe juste

Avant de diviser, un coup d'œil suffit souvent pour savoir s'il y aura un reste. La liste indicative d'automatismes du brevet demande d'appliquer les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9, et le programme de 5e y ajoute ceux par 2, 5 et 10 vus en CM1 et CM2.

Ces critères servent aussi à simplifier les fractions, comme l'explique notre article pour simplifier une fraction avec les critères de divisibilité.

Estimer le quotient pour vérifier son résultat

Quand la division ne tombe pas juste, un ordre de grandeur évite les grosses erreurs. Arrondis le nombre à diviser à un multiple facile : 2 380 : 6 est proche de 2 400 : 6 = 400, donc le résultat exact, environ 396,7, est cohérent.

Dans une division euclidienne, vérifie toujours en remontant : quotient × diviseur + reste doit redonner le nombre de départ. Pour 17 : 5, le quotient est 3 et le reste 2, car 3 × 5 + 2 = 17. Le reste doit être plus petit que le diviseur, sinon le quotient est trop petit.

Les critères de divisibilité figurent dans la liste d'automatismes du brevet, présentée dans notre guide sur les automatismes de l'épreuve de maths du brevet. Pour les travailler, quelques minutes par jour suffisent : Kalc entraîne les tables, les fractions, les pourcentages et l'algèbre en une dizaine de minutes quotidiennes.

Questions fréquentes

Comment diviser par 5 rapidement ?

Multiplie par 2, puis divise par 10. Par exemple 430 divisé par 5 donne 860 divisé par 10, soit 86.

Comment diviser par 25 sans poser la division ?

Multiplie par 4, puis divise par 100, puisque 25 est le quart de 100. 1 275 divisé par 25 donne 5 100 divisé par 100, soit 51.

Comment faire une division mentale par 7 ou par 9 ?

Découpe le nombre en multiples faciles du diviseur. 756 divisé par 7 devient 700 plus 56, soit 100 plus 8, donc 108.

Quels critères de divisibilité faut-il connaître au brevet ?

La liste indicative d'automatismes du brevet cite les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9.

Comment vérifier le résultat d'une division ?

Multiplie le quotient par le diviseur et ajoute le reste : tu dois retrouver le nombre de départ. Le reste doit être plus petit que le diviseur.